Phương sai và độ lệch chuẩn: Khái niệm, tính chất & các bài tập

Trong nội dung bài viết này, VerbaLearn tiếp tục reviews cho tới độc giả lý thuyết phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh trong những khuôn số liệu nằm trong lịch trình toán lớp 10. Ứng với từng bảng số liệu sẽ sở hữu được những bài xích tập luyện áp dụng tương quan cho tới nhì độ quý hiếm bên trên. Từ bại liệt giúp đỡ bạn gọi cầm Chắn chắn được khái niệm và cơ hội vận dụng trong những việc thông thường bắt gặp rưa rứa nhập thực tiễn.

Tóm tắt lý thuyết

Định nghĩa

Để đo chừng phân nghiền (độ chênh lệch) trong những độ quý hiếm của khuôn số liệu đối với số khoảng, người tớ thể hiện nhì số đặc thù là phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh.

Bạn đang xem:

Phương sai

Định nghĩa. Giả sử tớ mang trong mình một khuôn số liệu độ dài rộng n là x₁, x₂, …, x_n.

Phương sai của khuôn số liệu này, kí hiệu là $s_x^2$ , được xem vị công thức sau

$s_x^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}}$

Trong đó: $\overline x$ là số khoảng của khuôn số liệu.

Độ chênh chếch chuẩn

Căn bậc nhì của phương sai được gọi là chừng chênh chếch chuẩn chỉnh, kí hiệu là s_x.

${s_x} = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}} }$

Tính chất

a) Phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh càng rộng lớn thì chừng phân nghiền của những số liệu tổng hợp càng rộng lớn.

b) Phương sai $s_x^2$ và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh s_x đều được dùng để làm Reviews cường độ phân nghiền của những số liệu tổng hợp (so với số khoảng cộng). Nhưng khi cần thiết xem xét cho tới đơn vị chức năng đo thì tớ sử dụng s_x vì thế s_x đem nằm trong đơn vị chức năng đo với tín hiệu được nghiên cứu và phân tích.

c) Phương sai còn được xem bám theo những công thức sau đây:

– Trường hợp ý bảng phân bổ tần số, tần suất:

$s_x^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}} = \sum\limits_{i = 1}^k {{f_i}{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}}$

Trong đó: n_i, f_i thứu tự là tần số, gia tốc của độ quý hiếm x_i.

– Trường hợp ý bảng phân bổ tần số, gia tốc ghép lớp:

$s_x^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}{{\left( {{c_i} - \overline x } \right)}^2}} = \sum\limits_{i = 1}^k {{f_i}{{\left( {{c_i} - \overline x } \right)}^2}}$

Trong đó: c_i, n_i, f_i thứu tự là độ quý hiếm thay mặt, tần số, gia tốc của độ quý hiếm x_i.

– Người tớ còn minh chứng được công thức sau:

$s_x^2 = \overline {{x^2}} - {\left( {\overline x } \right)^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} - \frac{1}{{{n^2}}}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)^2}$

Dạng 1. Tính phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh của bảng số liệu không ghép lớp

Phương pháp giải

a) Để tính phương sai s² của một khuôn số liệu {x₁; x₂; …; x_N } tớ triển khai một trong những cơ hội sau:

Cách 1:

– Tính số trung bình:

$\overline x = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{x_i}}$

– Tính những chừng lệch:

${x_i} - \overline x ,\left( {i = \overline {1,N} } \right)$

– Tính những phương sai bám theo công thức:

${s^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}}$

Cách 2:

– Tính $\sum\limits_{i = 1}^N {{x_i}}$ và $\sum\limits_{i = 1}^N {x_i^2}$

– Tính phương sai bám theo công thức:

${s^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {x_i^2} - \frac{1}{{{N^2}}}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{x_i}} } \right)^2}$

Chú ý: Nếu bảng số liệu được cho tới vị bảng phân phối tần số như sau:

Thì phương sai được xem bám theo công thức:

${s^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{n_i}{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}}$

b) Tính chừng chênh chếch chuẩn chỉnh s: Độ chênh chếch chuẩn chỉnh s vị căn bậc nhì của phương sai:

$s = \sqrt {\frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}} }$

Bài tập luyện vận dụng

Câu 1. Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thử nghiệm đem nằm trong diện tích S được trình diễn nhập bảng tần số bên dưới đây:

a) Tính sản lượng khoảng của 40 thửa ruộng?

b) Tính phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh.

Hướng dẫn giải

a) Số khoảng của sản lượng của 40 thửa ruộng là:

$\overline x = \frac{{5 \cdot đôi mươi + 8 \cdot 21 + 11 \cdot 22 + 10 \cdot 23 + 6 \cdot 24}}{{40}} = 22,1$

b) Tính phương sai:

Cách 1: ${s^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^5 {{n_i}{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}}$ , thay cho số nhập tớ được:

s² = $\frac{1}{{40}}$ [5(20 – 22,1)² + 8(21 – 22,1)² + 11(22 – 22,1)² + 10(23 – 22,1)² + 6(24 – 22,1)²]

= $\frac{{6160}}{{4000}}$

Hay s² = 1,54

Cách 2: Ta có:

$\sum\limits_{i = 1}^5 {{n_i}{x_i}}$ = 5⋅20 + 8⋅21 + 11⋅22 + 10⋅23 + 6⋅24 = 884

$\sum\limits_{i = 1}^5 {{n_i}x_i^2}$ = 5⋅20² + 8⋅21² + 11⋅22² + 10⋅23² + 6⋅24² = 19598

Do đó:

$\begin{gathered} {s^2}{\text{ }} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{n_i}x_i^2} - \frac{1}{{{N^2}}}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{n_i}{x_i}} } \right)^2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} = \frac{1}{{40}} \cdot 19598 - \frac{1}{{{{40}^2}}} \cdot {884^2} = 1,54 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Tính chừng chênh chếch chuẩn: $s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {1,54} \approx 1,24$

Câu 2. 100 học viên nhập cuộc kì thi đua học viên chất lượng toán (thang điểm là 20). Kết ngược được cho tới nhập bảng sau:

a) Tính sản lượng khoảng.

b) Tính phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh.

Hướng dẫn giải

a) Tính số trung bình:

$\sum\limits_{i = 1}^{11} {{n_i}{x_i}} = 1 \cdot 9 + 1 \cdot 10 + \cdots + 10 \cdot 18 + 2 \cdot 19 = 1523$

Nên số khoảng là:

$\overline x = \frac{{1523}}{{100}} = 15,23$

b) Ta có: $\sum\limits_{i = 1}^{11} {{n_i}{x_i}} = 1523$ và $\sum\limits_{i = 1}^{11} {{n_i}x_i^2} = 23591$ nên phương sai là:

$\begin{gathered} {s^2}{\text{ }} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{n_i}x_i^2} - \frac{1}{{{N^2}}}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{n_i}{x_i}} } \right)^2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} = \frac{1}{{100}} \cdot 23591 - \frac{1}{{{{100}^2}}} \cdot {1523^2} \approx 3,96 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Độ chênh chếch chuẩn: $s = \sqrt {{s^2}} \approx 1,99$

Câu 3. Số PC bán tốt nhập 7 mon tiếp tục của một cửa hàng được ghi lại nhập bảng sau:

Tính số khoảng, phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh.

Hướng dẫn giải

Số khoảng là:

$\overline x = \frac{{83 + 79 + 92 + 71 + 69 + 83 + 74}}{7} \approx 78,71$

Ta có:

$\frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {x_i^2} = 6251,57;{\text{ }}\frac{1}{{{N^2}}}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{x_i}} } \right)^2} = 6195,94$

Suy ra:

$\begin{gathered} {s^2}{\text{ }} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {x_i^2} - \frac{1}{{{N^2}}}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{x_i}} } \right)^2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{ = 6251,57 - 6195,94 = 55,63} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy $s = \sqrt {55,63} \approx 7,46$

Câu 4. Kết ngược thi đua kết thúc đẩy học tập kì một của người tiêu dùng Hoa được ghi lại nhập bảng sau:

Tìm số khoảng, phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh.

Hướng dẫn giải

$\overline x$ = 7,5; s² ≈ 0,42; s ≈ 0,65

Câu 5. Theo dõi số áo xuất kho của 9 loại áo bên trên một cửa hàng, người tớ đem mặt hàng số liệu sau (đơn vị: chiếc)

Tìm số khoảng, phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh.

Hướng dẫn giải

$\overline x$ = 41,1; s² ≈ 63,4; s ≈ 8,0

Câu 6. Trong tuột bám theo dõi bán sản phẩm ở một cửa hàng buôn bán xe pháo máy đem bảng sau:

Tìm số xe pháo khoảng bán tốt trong thời gian ngày. Tìm phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh.

Hướng dẫn giải

Trung bình cộng: 48,35; phương sai s² ≈ 194,64; chừng chênh chếch chuẩn chỉnh 13,95

Câu 7. Bảng số liệu sau cho tới tớ lãi (quy tròn) mỗi tháng của một cửa hàng A nhập năm 2006 (đơn vị là triệu đồng).

Tìm số khoảng. Tìm phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh.

Hướng dẫn giải

Trung bình cộng: 16,25; phương sai s² ≈ 5,02; chừng chênh chếch chuẩn chỉnh 2,24

Câu 8. Theo dõi số bao xi-măng xuất kho nhập 22 ngày bên trên một cửa hàng buôn bán vật tư kiến thiết tớ đem bảng sau:

Tìm số khoảng. Tìm phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh.

Hướng dẫn giải

Trung bình cộng: 47,95; phương sai s² ≈ 123,13; chừng chênh chếch chuẩn chỉnh 11,09

Câu 9. Bảng tại đây ghi lại vận tốc (km/h) của 30 cái ôtô.

Tìm số khoảng. Tìm phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh.

Hướng dẫn giải

Trung bình cộng: 70,70; phương sai s² ≈ 38,21; chừng chênh chếch chuẩn chỉnh 6,18

Câu 10. Số liệu tại đây cho tới tớ số lãi từng tháng của một cửa hàng năm 2004 (đơn vị: triệu đồng).

Tìm số khoảng. Tìm phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh.

Hướng dẫn giải

Xem thêm: Những ứng dụng vẽ trên máy tính tốt nhất năm 2023 cho designer

Trung bình cộng: 16; phương sai s² ≈ 5,9; chừng chênh chếch chuẩn chỉnh 2,43

Dạng 2. Tính phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh của bảng số liệu ghép lớp

Phương pháp giải

Để tính phương sai của bảng phân bổ tần số, gia tốc ghép lớp tớ sử dụng công thức:

$s_x^2 = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{c_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{c_2} - \overline x } \right)}^2} + \cdots + {n_k}{{\left( {{c_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]$

Trong đó:

c_i, n_i, f_i thứu tự là độ quý hiếm thay mặt, tần số, gia tốc của lớp thức i;
c_i được xem vị khoảng nằm trong của 2 độ quý hiếm đầu mút của lớp i;
n là số những số liệu tổng hợp (n = n₁ + n₂ + …+ n_k);
x là số khoảng nằm trong của những số nhập số liệu tổng hợp tiếp tục cho tới.

⨂ Người tớ còn minh chứng được công thức: $s_x^2 = \overline {{x^2}} - {\left( {\overline x } \right)^2}$

Độ chênh chếch chuẩn chỉnh s_x được xem vị công thức: ${s_x} = \sqrt {s_x^2}$

Bài tập luyện vận dụng

Ví dụ sau dùng công thức $s_x^2 = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + \cdots + {n_n}{{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}} \right]$ nhằm tính phương sai.

Câu 1. Cho bảng phân bổ tần số ghép lớp sau

Độ nhiều năm của 60 lá dương xỉ trưởng thành

Tính phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh của bảng phân bổ tần số ghép lớp tiếp tục cho tới.

Hướng dẫn giải

Trước không còn tớ có:

$\overline x = \frac{{15 \cdot 8 + 25 \cdot 18 + 35 \cdot 24 + 45 \cdot 10}}{{60}} = 31$

Khi bại liệt phương sai:

$\begin{gathered} s_x^2{\text{ }} = \frac{{8{{\left( {15 - 31} \right)}^2} + 18{{\left( {25 - 31} \right)}^2} + 24{{\left( {35 - 31} \right)}^2} + 10{{\left( {45 - 31} \right)}^2}}}{{60}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{ = 84} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Độ chênh chếch chuẩn;

${s_x} = \sqrt {84} \approx 9,17$

Ví dụ sau dùng công thức $s_x^2 = \overline {{x^2}} - {\left( {\overline x } \right)^2}$ nhằm tính phương sai.

Câu 2. Cho bảng phân bổ tần số ghép lớp sau

Khối lượng của 30 của khoai tây

Tính phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh của bảng phân bổ tần số ghép lớp tiếp tục cho tới.

Hướng dẫn giải

Ta tính những độ quý hiếm ${n_i}{c_i},{\text{ }}{n_i}c_i^2$ và bổ sung cập nhật nhập bảng tiếp tục cho tới, tớ được bảng sau:

Từ bại liệt, tớ tính được $\overline x$ = 95 và $\overline {{x^2}}$ = 9145. sít dụng công thức $s_x^2 = \overline {{x^2}} - {\left( {\overline x } \right)^2}$ , tớ tính được $s_x^2$ = 120 và ${s_x} = \sqrt {s_x^2} \approx 10,95$ .

Ví dụ sau cho tới bảng phân bổ gia tốc ghép lớp. Ta tính $\overline x$ và $s_x^2$ dựa vào gia tốc.

Câu 3. Cho bảng phân bổ gia tốc ghép lớp sau

Chiều cao của 35 cây khuynh diệp

Tính phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh của bảng phân bổ gia tốc ghép lớp tiếp tục cho tới.

Hướng dẫn giải

Trước không còn tớ tính đi ra những độ quý hiếm f_ic_i, cuối bảng sẽ sở hữu được được $\overline x$ , kể từ bại liệt tính ${f_i}{\left( {{c_i} - \overline x } \right)^2}$ , cuối bảng sẽ sở hữu được $s_x^2$ .

Như vậy tớ được phương sai $s_x^2$ = 0,411164, suy đi ra s_x ≈ 0,641221.

Ví dụ sau dùng sự tương hỗ của dòng sản phẩm tính fx − 570ES PLUS nhằm tính phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh.

Câu 4. Cho bảng phân bổ tần số ghép lớp sau

Khối lượng của tập thể nhóm đôi mươi cá mè

Tính phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh của bảng bên trên.

Hướng dẫn giải

Trước không còn, tớ lựa chọn nhằm sử dụng chính sách tổng hợp với một đối tượng người sử dụng tổng hợp.

Sau bại liệt tớ nhập nhằm nhập chính sách tổng hợp và lựa chọn nhằm nhập tài liệu.

Nhập những độ quý hiếm thay mặt nhập cột X bên trên màn hình hiển thị. Sau khi nhập xong xuôi, chuyển sang cột FREQ vị phím và nhập những tần số ứng với những độ quý hiếm thay mặt.

Nhập xong xuôi bấm . Để tính chừng chênh chếch chuẩn chỉnh, tớ bấm , thành quả là s_x = 0,2049390153, tớ tính phương sai bằng phương pháp bình phương độ quý hiếm bên trên, bấm tiếp , tớ được $s_x^2$ = 0,042.

Câu 5. Nhiệt chừng khoảng của mon 2 ở một TP. Hồ Chí Minh đo nhập 30 năm được cho tới nhập bảng sau:

Tính phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh của bảng phân bổ tiếp tục cho tới.

Hướng dẫn giải

Sử dụng một trong những phương án tính như nhập ví dụ, tớ được kết quả: $s_x^2$ ≈ 3,93; s_x ≈ 1,98.

Câu 6. Tính phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh của bảng phân bổ sau

Chiều cao của 36 học viên

Hướng dẫn giải

Sử dụng một trong những phương án tính như nhập ví dụ, tớ được kết quả: $s_x^2$ ≈ 30,97; s_x = 5,57.

Câu 7. Tính phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh của bảng phân bổ sau:

Tiền lãi của thường ngày buôn bán báo được tham khảo nhập 30 ngày

Hướng dẫn giải

Sử dụng một trong những phương án tính như nhập ví dụ, tớ được kết quả: $s_x^2$ ≈ 271, 71; s_x = 16,48.

Câu 8. Trong một ngôi trường trung học phổ thông, cho tới đánh giá toán ở cả hai lớp 10A và 10B và lập được bảng tần số ghép lớp như sau:

Điểm thi đua toán của lớp 10A

Điểm thi đua toán của lớp 10B

Tính phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh của nhì bảng phân bổ tần số ghép lớp bên trên và cho tới Kết luận.

Hướng dẫn giải

Sử dụng một trong những phương án tính như nhập ví dụ, tớ được kết quả

– Lớp 10A: $s_x^2$ = 3,23; s_x = 1,8.

– Lớp 10B: $s_x^2$ = 4,65; s_x = 2,16.

Từ bại liệt đã cho chúng ta thấy chừng phân nghiền của lớp 10B nhiều hơn thế chừng phân nghiền của lớp 10A đối với độ quý hiếm khoảng của tài liệu.

Câu 9. Một dân cày nuôi cá đem 2 ao nuôi và một loại cá. Ông tớ bắt từng ao 24 loại cá và cân nặng. Sau đấy là bảng phân bổ lượng 2 group cá.

Nhóm cá loại nhất

Nhóm cá loại hai

Tính phương sai và chừng chênh chếch chuẩn chỉnh của nhì bảng phân bổ tần số ghép lớp bên trên và cho tới Kết luận.

Hướng dẫn giải

Sử dụng một trong những phương án tính như nhập ví dụ, tớ được kết quả

– Nhóm cá loại nhất: $s_x^2$ = 33,16; s_x = 5,76.

– Nhóm cá loại hai: $s_x^2$ = 17,66; s_x = 4,2.

Từ bại liệt đã cho chúng ta thấy chừng phân nghiền của tập thể nhóm cá loại nhì thấp hơn chừng phân nghiền của tập thể nhóm cá loại nhất đối với độ quý hiếm khoảng của tài liệu.

Câu 10. Một nông trại trồng nhì loại táo A và B. Chủ nông trại cần lựa chọn 1 loại táo đem trọng lượng những ngược táo không nhiều bị phân nghiền nhằm xuất khẩu. Sau vụ thu hoạch, ông tiếp tục cân nặng trọng lượng của 100 ngược táo. Các số liệu được tóm lược nhập bảng tần số sau:

Trọng lượng những ngược táo loại A

Trọng lượng những ngược táo loại B

Em hãy cho thấy thêm công ty nông trại tiếp tục lựa chọn loại táo nào là nhằm xuất khẩu?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overline {{x_A}} = \overline {{x_B}} = 180$

Áp dụng công thức $s_x^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}{{\left( {{c_i} - \overline x } \right)}^2}}$ tớ được phương sai của từng bảng số liệu thứu tự là: