Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau - TOANMATH.com

Bài viết lách trình diễn cách thức xác lập và tính góc thân thích hai tuyến phố trực tiếp chéo cánh nhau nhập không khí bằng phương pháp dùng hình học tập không khí cổ xưa, đấy là một nội dung thông thường bắt gặp nhập lịch trình Hình học tập 11 chương 3: Quan hệ vuông góc, kỹ năng và những ví dụ nhập nội dung bài viết được tìm hiểu thêm kể từ những tư liệu hình học tập không khí được share bên trên TOANMATH.com.

Bài toán: Cho hai tuyến phố trực tiếp $a$ và $b$ chéo cánh nhau, xác lập góc thân thích $2$ đường thẳng liền mạch $a$ và $b.$

Bạn đang xem: Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau - TOANMATH.com

Để xác lập góc thân thích hai tuyến phố trực tiếp $a$ và $b$ chéo cánh nhau, tớ dùng những cơ hội sau:

Cách 1: Chọn hai tuyến phố thẳng rời nhau $a’$ và $b’$ theo thứ tự song song với $a$ và $b$. Khi cơ $(\widehat {a,b}) = (\widehat {a’,b’})$.

Cách 2: Chọn một điểm $A$ ngẫu nhiên thuộc $a$, rồi kể từ cơ kẻ một đường thẳng liền mạch $b’$ qua $A$ và song song với $b$. Khi cơ $(\widehat {a,b}) = (\widehat {a,b’})$.

Xem thêm: Bệnh viện 103 có tốt không? • Hello Bacsi

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ sở hữu lòng là hình thoi cạnh $a$, $SA = a\sqrt 3 ,SA \bot BC$. Tính góc thân thích hai tuyến phố trực tiếp $SD$ và $BC$?

Ta có: $BC//AD.$
Do đó $(SD,BC) = (SD,AD) = \widehat {SDA}.$
Vì $\left. \begin{array}{l}
BC||AD\\
SA \bot BC
\end{array} \right\}$ $ \Rightarrow SA \bot AD \Rightarrow \widehat {SAD} = {90^0}.$
Xét tam giác $ΔSAD$ vuông bên trên $A$ tớ có:
$\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \sqrt 3 $ $ \Rightarrow \widehat {SDA} = {60^0}.$
Vậy góc thân thích hai tuyến phố trực tiếp $SD$ và $BC$ vì thế $60$ chừng.

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ sở hữu $AB = CD = 2a$. Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm của $BC$ và $AD$, $MN = a\sqrt 3 $. Tính góc thân thích hai tuyến phố trực tiếp $AB$ và $CD$?

Xem thêm: Vé máy bay từ Phú Quốc đi Cần Thơ giá rẻ nhất tại ABAY.vn

Gọi $I$ là trung điểm của $BD.$
Ta có: $\left. \begin{array}{l}
IN//AB\\
IM//CD
\end{array} \right\}$ $ \Rightarrow (AB,CD) = (IM,IN).$
Xét tam giác $IMN$ có:
$IM = IN = a,MN = a\sqrt 3 .$
Do cơ $\cos \widehat {MIN} = \frac{{2{a^2} – 3{a^2}}}{{2{a^2}}} = – \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow \widehat {MIN} = {120^0}.$
Vậy $(\widehat {AB,CD}) = {180^0} – {120^0} = {60^0}$.

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có tính lâu năm cạnh mặt mày vì thế $2a$, lòng $ABC$ là tam giác vuông bên trên $A$, $AB = a,AC = a\sqrt 3$. Hình chiếu vuông góc của $A’$ lên $mp(ABC)$ là trung điểm của $BC$. Tính $cosin$ của góc thân thích hai tuyến phố trực tiếp $AA’$ và $B’C’$?

Gọi $H$ là trung điểm của $BC.$
Ta có: $\left. \begin{array}{l}
AA’//BB’\\
B’C’//BH
\end{array} \right\}$ $ \Rightarrow (AA’,B’C’) = (BB’,BH).$
Hay $\cos (AA’,B’C’) = \cos (BB’,BH)$ $ = \left| {\cos \widehat {HBB’}} \right|.$
Xét tam giác $A’B’H$ có:
$\widehat {A’} = {90^0},A’B’ = a.$
$A’H = \sqrt {AA{‘^2} – A{H^2}} $ $ = \sqrt {AA{‘^2} – {{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 3 .$
Suy đi ra $HB’ = \sqrt {A'{H^2} + A’B{‘^2}} = 2a.$
Do đó $\cos \widehat {HBB’} = \frac{{B{H^2} + BB{‘^2} – HB{‘^2}}}{{2.BH.BB’}} = \frac{1}{4}.$
Vậy $\cos (AA’,B’C’) = \left| {\cos \widehat {HBB’}} \right| = \frac{1}{4}$.