ĐK học Toán: 0946 - 108 - 57979 - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Trong quy trình giảng dạy dỗ và thực hiện toán, tôi vẫn khối hệ thống được một trong những cách thức giải phương trình nghiệm vẹn toàn, hy vọng sẽ hỗ trợ những em học viên biết lựa lựa chọn cách thức phù hợp Khi giải câu hỏi loại này.

Phương pháp 1 : Đưa về dạng tích

Bạn đang xem: ĐK học Toán: 0946 - 108 - 57979 - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Biến thay đổi phương trình về dạng : vế trái khoáy là tích của những nhiều thức chứa chấp ẩn, vế nên là tích của những số vẹn toàn.

Thí dụ 1 : Tìm nghiệm vẹn toàn của phương trình :

y3 - x3 = 91 (1)

Lời giải : (1) tương tự với (y - x)(x2 + xy + y2) = 91 (*)

Vì x2 + xy + y2 > 0 với từng x, hắn nên kể từ (*) => hắn - x > 0.

Mặt không giống, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và hắn - x ; x2 + xy + y2 đều vẹn toàn dương nên tao đem tứ năng lực sau :

y - x = 91 và x2 + xy + y2 = 1 ; (I)

y - x = 1 và x2 + xy + y2 = 91 ; (II)

y - x = 3 và x2 + xy + y2 = 7 ; (III)

y - x = 7 và x2 + xy + y2 = 13 ; (IV)

Đến phía trên, câu hỏi coi như được xử lý.

Phương pháp 2 : Sắp trật tự những ẩn

Nếu những ẩn x, hắn, z, ... đem tầm quan trọng đồng đẳng, tao rất có thể fake sử x ≤ hắn ≤ z ≤ ... nhằm thám thính những nghiệm vừa lòng ĐK này. Từ bại, người sử dụng luật lệ thiến nhằm => những nghiệm của phương trình vẫn mang đến.

Thí dụ 2 : Tìm nghiệm vẹn toàn dương của phương trình :

x + hắn + z = xyz (2).

Lời giải :

Do tầm quan trọng đồng đẳng của x, hắn, z vô phương trình, trước không còn tao xét x ≤ hắn ≤ z.

Vì x, hắn, z vẹn toàn dương nên xyz ≠ 0, tự x ≤ hắn ≤ z => xyz = x + hắn + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy nằm trong {1 ; 2 ; 3}.

Nếu xy = 1 => x = hắn = 1, thay cho vô (2) tao đem : 2 + z = z, bất hợp lí.

Nếu xy = 2, tự x ≤ hắn nên x = 1 và hắn = 2, thay cho vô (2), => z = 3.

Nếu xy = 3, tự x ≤ hắn nên x = 1 và hắn = 3, thay cho vô (2), => z = 2.

Vậy nghiệm vẹn toàn dương của phương trình (2) là những thiến của (1 ; 2 ; 3).

Thí dụ 3 : Tìm nghiệm vẹn toàn dương của phương trình :

1/x + 1/y + 1/z = 2 (3)

Lời giải : Do tầm quan trọng đồng đẳng của x, hắn, z, trước không còn tao xét x ≤ hắn ≤ z. Ta đem :

2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = 1.

Thay x = 1 vô (3) tao đem :

1/y + 1/z + 1 = 2 => 1 = 1/y + 1/z ≤ 2/y => hắn ≤ 2

=> hắn = 1 => 1/z = 0 (vô lí)

hoặc hắn = 2 => 1/z = 2 => z = 2.

Vậy nghiệm vẹn toàn dương của phương trình (3) là những thiến của (1 ; 2 ; 2).

Phương pháp 3 : Sử dụng đặc thù phân tách hết

Phương pháp này dùng đặc thù phân tách không còn nhằm minh chứng phương trình vô nghiệm hoặc thám thính nghiệm của phương trình.

Thí dụ 4 : Tìm nghiệm vẹn toàn của phương trình :

x2 - 2y2 = 5 (4)

Lời giải : Từ phương trình (4) tao => x nên là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k nằm trong Z) vô (4), tao được :

4k2 +4k + 1 - 2y2 = 5

Xem thêm: Công thức tính thể tích khối chóp tứ giác đều chi tiết và bài tập - VUIHOC

tương đương 2(k2 + k - 1) = y2

=> y2 là số chẵn => hắn là số chẵn.

Đặt hắn = 2t (t nằm trong Z), tao đem :

2(k2 + k - 1) = 4t2

tương đương k(k + 1) = 2t2 + 1 (**)

Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t2 + một là số lẻ => phương trình (**) vô nghiệm.

Vậy phương trình (4) không tồn tại nghiệm vẹn toàn.

Thí dụ 5 : Chứng minh rằng ko tồn bên trên những số vẹn toàn x, hắn, z vừa lòng :

x3 + y3 + z3 = x + hắn + z + 2000 (5)

Lời giải : Ta đem x3 - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số vẹn toàn liên tục (với x là số nguyên). Do bại : x3 - x phân tách không còn mang đến 3.

Tương tự động y3 - hắn và z3 - z cũng phân tách không còn mang đến 3. Từ bại tao đem : x3 + y3 + z3 - x - hắn - z phân tách không còn mang đến 3.

Vì 2000 ko phân tách không còn mang đến 3 nên x3 + y3 + z3 - x - hắn - z ≠ 2000 với từng số vẹn toàn x, hắn, z tức là phương trình (5) không tồn tại nghiệm vẹn toàn.

Thí dụ 6 : Tìm nghiệm vẹn toàn của phương trình :

xy + x - 2y = 3 (6)

Lời giải : Ta đem (6) tương tự y(x - 2) = - x + 3. Vì x = 2 ko vừa lòng phương trình nên (6) tương tự với:

y = (-x + 3)/(x - 2) tương tự hắn = -1 + 1/(x - 2).

Ta thấy : hắn là số vẹn toàn tương tự với x - 2 là ước của một hoặc x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 tương tự với x = 1 hoặc x = 3. Từ bại tao đem nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0).

Chú ý : cũng có thể người sử dụng cách thức 1 nhằm giải câu hỏi này, nhờ đem phương trình (6) về dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = 1 tương tự (x - 2)(y + 1) = 1.

Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức

Dùng bất đẳng thức nhằm Reviews một ẩn này bại và kể từ sự Reviews này => những độ quý hiếm vẹn toàn của ẩn này.

Thí dụ 7 : Tìm nghiệm vẹn toàn của phương trình :

x2 - xy + y2 = 3 (7)

Lời giải :

(7) tương tự với (x - y/2)2 = 3 - 3y2/4

Vì (x - y/2)2 ≥ 0 => 3 - 4y2/4 ≥ 0

=> -2 ≤ hắn ≤ 2 .

Lần lượt thay cho hắn = -2 ; 2 ; -1 ; 1 ; 0 vô phương trình nhằm tính x. Ta đem những nghiệm vẹn toàn của phương trình là :

(x ; y) nằm trong {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)}.

Chắc chắn còn nhiều cách thức nhằm giải phương trình nghiệm vẹn toàn và còn nhiều tỉ dụ thú vị không giống. Mong chúng ta kế tiếp trao thay đổi về yếu tố này. Các chúng ta cũng test giải một trong những phương trình nghiệm vẹn toàn tại đây :

Bài 1 : Giải những phương trình nghiệm vẹn toàn :

a) x2 - 4 xy = 23 ;

b) 3x - 3y + 2 = 0 ;

c) 19x2 + 28y2 =729 ;

d) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96.

Bài 2 : Tìm x, hắn vẹn toàn dương vừa lòng :

a) 4xy - 3(x + y) = 59 ;

Xem thêm:

b) 5(xy + yz + zx) = 4xyz ;

c) xy/z + yz/x + zx/y = 3 ;

d) 1/x + 1/y + 1/z = 1/1995.