Ví dụ 1:
Viết phương trình thông số của đường thẳng liền mạch d trong những tình huống sau:
Bạn đang xem: Hình học 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian
a) d trải qua A(1; 2;-3) và B(-2; 2;0).
b) d cút qua A(-2;4;3) và vuông góc với mặt mày bằng \((\alpha):\) 2x-3y–6z+19=0.
c) d trải qua điểm A(2;-5;3) và tuy vậy song với đường thẳng liền mạch \(d':\) \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ hắn = 3 + 2t\\ z = 5 - 3t \end{array} \right.\).
d) d trải qua điểm M(3;1;5) và tuy vậy song với nhị mặt mày bằng (P):2x+3y-2z+1=0 và (Q): x–3y+z-2=0.
Lời giải:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;1} \right).\)
Do d trải qua A và B nên VTCP của d là \(\overrightarrow u = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;1} \right)\).
Mặt khác d trải qua A(1; 2;-3).
Suy rời khỏi phương trình thông số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ hắn = 2\\ z = - 3 + t \end{array} \right.\)
b) VTPT của \((\alpha)\) là \(\vec n = (2; - 3; - 6).\)
Do \(d \bot (\alpha )\) nên d nhận \(\vec u =\vec n=(2;-3;-6)\) là VTCP.
Mặt không giống d cút qua A(-2;4;3).
Suy rời khỏi phương trình thông số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + 2t\\ hắn = 4 - 3t\\ z = 3 - 6t \end{array} \right.\)
c) VTCP của d' là \(\overrightarrow {u'} = (1;2; - 3).\)
Do d// d’ nên VTCP của d \(\overrightarrow u = \overrightarrow {u'} = (1;2; - 3).\)
Mặt không giống d trải qua điểm A(2;-5;3).
Suy rời khỏi phương trình thông số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ hắn = - 5 + 2t\\ z = 3 - 3t \end{array} \right.\)
d) Ta có: \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2;3; - 2)\) và \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; - 3;1)\) lần lượt là VTPT của mặt mày bằng (P) và mặt mày bằng (Q).
Do: \(\left\{ \begin{array}{l} d//\left( Phường \right)\\ d//(Q) \end{array} \right.\) nên d với VTCP là: \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = ( - 3; - 4; - 9).\)
Mặt khác: d trải qua điểm M(3;1;5)
Suy rời khỏi phương trình thông số của d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 3t\\ hắn = 1 - 4t\\ z = 5 - 9t \end{array} \right.\)
Ví dụ 2:
Xác đinh trí kha khá của những cặp đường thẳng liền mạch d và d’ cho tới vì thế những phương trình sau:
a) \({\rm{d}}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 + 2t\\ hắn = - 2 + 3t\\ z = 6 + 4t \end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + t'\\ hắn = - 1 - 4t'\\ z = trăng tròn + t' \end{array} \right.\).
b) \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ hắn = 2 + t\\ z = 3 - t \end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t'\\ hắn = - 1 + 2t'\\ z = 2 - 2t' \end{array} \right.\).
Lời giải:
a) d qua chuyện A(-3;-2;6) với VTCP \(\overrightarrow u = \left( {2;3;4} \right).\)
d’ qua chuyện B(5;-1;20) với VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( {1; - 4;1} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {8;1;14} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4\\ { - 4}&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 1&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&{ - 4} \end{array}} \right|} \right) = \left( {19;2; - 11} \right).\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {AB} = 19.8 + 2.1 - 11.14 = 152 + 2 - 154 = 0\\ \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {19;2; - 11} \right) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)
Suy rời khỏi d và d' rời nhau.
b) d qua chuyện A(1;2;3) với VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right).\)
d’ qua chuyện B(1;-1;2) với VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( {2; 2;-2} \right).\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {0;-3;-1} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 2&{ - 2} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ { - 2}&2 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 2&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;0} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {u'} = 2\overrightarrow u \\ \overrightarrow {AB} = \left( {0; - 3; - 1} \right) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)
Suy rời khỏi d và d' tuy vậy song cùng nhau.
Ví dụ 3:
Tìm a nhằm hai tuyến phố trực tiếp tại đây rời nhau \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + at\\ hắn = t\\ z = - 1 - 2t \end{array} \right.;d':\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t'\\ hắn = 2 + 2t'\\ z = 3 - t \end{array} \right.\).
Lời giải:
d qua chuyện A(1;0;-1) với VTCP \(\overrightarrow u = \left( {a;1;2} \right).\)
d’ qua chuyện B(1;2;3) với VTCP \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2; - 1} \right).\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {0;2;4} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 2&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&a\\ { - 1}&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&1\\ { - 1}&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5;a - 2;2{\rm{a}} + 1} \right)\).
Nếu d rời d' khi:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\ \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {AB} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - 2 \ne 0\\ 2{\rm{a}} - 1 \ne 0\\ 2(a - 2) + 4(2{\rm{a + }}1) = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 2\\ a \ne \frac{1}{2}\\ a = 0 \end{array} \right. \Rightarrow a = 0 \end{array}\)
Vậy a=0 là độ quý hiếm cần thiết dò xét.
Ví dụ 4:
Tính những khoảng cách sau:
a) Khoảng cơ hội kể từ điểm A(1;0;1) cho tới đàng thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}.\)
b) Khoảng cơ hội thân thiện hai tuyến phố thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ hắn = - 1 - t\\ z = 1 \end{array} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 3t'\\ hắn = 2 + 3t'\\ z = 3t' \end{array} \right.\quad \left( {t,t' \in R} \right)\).
Lời giải:
a) Đường trực tiếp \(\Delta\) đi qua chuyện điểm B(1;0;0) và với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;2;1} \right)\).
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 1} \right)\\ \left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ 2&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0\\ 1&2 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 2&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( {2; - 2;0} \right). \end{array}\)
Vậy \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\sqrt {4 + 4} }}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
b) Đường trực tiếp \(\Delta\) qua A(1;-1;1) và với VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;0} \right).\)
Đường trực tiếp \(\Delta'\) qua B(2;2;0) và VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 3;3;3} \right).\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 1} \right)\\ \left[ {\vec u,\vec u'} \right] = \left( { - 3; - 3;0} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\vec u,\vec u'} \right].\overrightarrow {AB} = - 12. \end{array}\)
Vậy: \(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| { - 12} \right|}}{{\sqrt {9 + 9 + 0} }} = \frac{{12}}{{3\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2.\)
Ví dụ 5:
a) Tính góc tạo nên vì thế đường thẳng liền mạch (d): \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ hắn = 2 + t\\ z = 5 + 4t \end{array} \right.\) và \((d'):\frac{{x - 2}}{{ - 1}} + \frac{{y - 4}}{3} + \frac{{z + 3}}{2} = 0.\)
b) Tìm m nhằm đường thẳng liền mạch \((d):\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ hắn = 1 - 2t\\ z = 1 - t \end{array} \right.\) và \((d'):\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ hắn = 2 + (m - 2)t\\ z = t \end{array} \right.\) tạo cùng nhau một góc 600.
Lời giải:
a) VTCP của (d) là: \(\overrightarrow {{u_d}} = (2;1;4).\)
VTCP của (d’) là: \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 1;3;2} \right).\)
Gọi \(\varphi\) là góc tạo nên vì thế hai tuyến phố trực tiếp (d) và (d’) tao có:
\(\begin{array}{l} \cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|\left| {\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.( - 1) + 3.1 + 4.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {4^2}} \sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt {294} }}\\ \Rightarrow \varphi \approx {88^0}15' \end{array}\)
b) \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 2; - 1} \right)\)
\(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {m;m - 2;1} \right)\)
(d) và (d’) tạo nên cùng nhau một góc 600 nên:
\(\begin{array}{l} \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} - 4m + 5} }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2 - \sqrt 2 \\ m = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy \(m=2-\sqrt2\) và \(m=2+\sqrt2\) là những độ quý hiếm cần thiết dò xét.
Ví dụ 6:
Tìm m để đàng thẳng: \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + mt\\ hắn = (m - 2)t\\ z = 1 + t \end{array} \right.\) và (P): \(2x - 2y - z + 1 = 0\) tạo trở thành góc 300.
Lời giải:
d với VTCP: \(\overrightarrow u = (m,m - 2,1).\)
(P) với VTPT: \(\overrightarrow n = (2; - 2; - 1).\)
d và (P) tạo nên cùng nhau một góc 300 nên:
\(\begin{array}{l} \sin {30^0} = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\vec n} \right)} \right| = \frac{1}{2}\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} - 4m + 5} }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\\ m = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2} \end{array} \right.. \end{array}\)
Vậy \(m = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\) và \(m = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\) là những độ quý hiếm cần thiết dò xét.